https://vi.wikipedia.org/wiki/S%E1%BB%91_h%E1%BB%8Dc_m%C3%B4_%C4%91un#%C4%90%E1%BB%93ng_d%C6%B0
Đồng dư
Với một số nguyên n > 1, gọi là mô đun, hai số nguyên a và b được gọi là đồng dư modulo n, nếu hiệu của chúng chia hết cho n (đó là, nếu tồn tại số nguyên k sao cho a − b = kn).

Đồng dư mô đun n là một quan hệ đồng dư, tức nó là một quan hệ tương đương tương thích với các phép cộng, trừ, và nhân. Đồng dư mô đun n được ký hiệu là:

�
≡
�
(
mod
�
)
.
{\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}.}
Dấu ngoặc nghĩa là (mod n) áp dụng cho toàn bộ phương trình, không chỉ mỗi vế phải (b). Ký hiệu này mang ý nghĩa khác với b mod n (không có dấu ngoặc), dùng để chỉ phép toán modulo. Cụ thể hơn, b mod n ký hiệu số dư khi chia n cho b, tức số nguyên a thỏa mãn 0 ≤ a < n và a ≡ b (mod n).

Ví dụ
Trong mô đun 12, ta có thể viết:

38
≡
14
(
mod
12
)
{\displaystyle 38\equiv 14{\pmod {12}}}
vì 38 − 14 = 24, một bội của 12. Một cách khác để thể hiện điều này là cả 38 và 14 có cùng số dư là 2 khi chia cho 12.

Định nghĩa đồng dư cũng áp dụng cho số nguyên âm, ví dụ như:

2
≡
−
3
(
mod
5
)
−
3
≡

7
(
mod
5
)
−
3
≡
−
8
(
mod
5
)
{\displaystyle {\begin{aligned}2&\equiv -3{\pmod {5}}\-3&\equiv \ \ \ 7{\pmod {5}}\-3&\equiv -8{\pmod {5}}\end{aligned}}}
Tính chất
Quan hệ đồng dư thỏa mãn các tính chất của một quan hệ tương đương:

Phản xạ: a ≡ a (mod n)
Đối xứng: a ≡ b (mod n) khi và chỉ khi b ≡ a (mod n) với mọi a, b
Bắc cầu: nếu a ≡ b (mod n) và b ≡ c (mod n) thì a ≡ c (mod n)
Cộng, trừ, nhân
Nếu a1 ≡ b1 (mod n) và a2 ≡ b2 (mod n), hoặc a ≡ b (mod n), thì:

a + k ≡ b + k (mod n) với mọi số nguyên k
k a ≡ k b (mod n) với mọi số nguyên k khác 0
k a ≡ k b (mod kn) với mọi số nguyên k
a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n) (bảo toàn phép cộng)
a1 – a2 ≡ b1 – b2 (mod n) (bảo toàn phép trừ)
a1 a2 ≡ b1 b2 (mod n) (bảo toàn phép nhân)
ak ≡ bk (mod n) với mọi số nguyên không âm k (bảo toàn phép mũ)
p(a) ≡ p(b) (mod n), với mọi đa thức p(x) có hệ số nguyên (bảo toàn với đa thức)
Đối với việc khử các hệ số ở hai bên, ta có các luật sau:

Nếu a + k ≡ b + k (mod n), với k là số nguyên bất kì, thì a ≡ b (mod n)
Nếu k a ≡ k b (mod n) và k nguyên tố cùng nhau với n, thì a ≡ b (mod n)
Nếu k a ≡ k b (mod kn) , thì a ≡ b (mod n)